Como você pode provar a distribuição de Poisson?

Responda:

# "Veja explicação" #

Explicação:

# "Nós tomamos um período de tempo com comprimento" t ", consistindo de n partes" #

#Delta t = t / n ". Suponha que a chance de um evento bem sucedido" #

# "em uma peça é" p ", então o número total de eventos na n" #

# "time pieces é distribuído binomial de acordo com" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "com" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(combinações)" #

# "Agora nós deixamos" #

# n-> oo ", so" p-> 0, "mas" n * p = lambda #

# "Então, nós substituímos" p = lambda / n "em" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (lambda / n) ^ x (1-lambda / n) ^ (n-x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (1-lambda / n)) ^ x #

# "for" n -> oo "o que está entre …" -> 1 "e" #

# (1 - lambda / n) ^ n -> e ^ -ambda "(limite de Euler)," #

# "então obtemos" #

#p_x (x) = (lambda ^ xe ^ -ambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #