É sqrt21 número real, número racional, número inteiro, inteiro, número irracional?

Responda:

É um número irracional e, portanto, real.

Explicação:

Vamos primeiro provar que #sqrt (21) # é um número real, de fato, a raiz quadrada de todos os números reais positivos é real. E se # x # é um número real, então definimos para os números positivos #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Isso significa que olhamos todos os números reais # y # de tal modo que # y ^ 2 <= x # e pegue o menor número real que é maior que todos esses # y #é o chamado supremo. Para números negativos, estes # y #não existem, pois para todos os números reais, obter o quadrado desse número resulta em um número positivo e todos os números positivos são maiores do que os números negativos.

Para todos os números positivos, sempre há # y # que se encaixa na condição # y ^ 2 <= x #, nomeadamente #0#. Além disso, há um limite superior para esses números, # x + 1 #, desde que se # 0 <= y <1 #, então # x + 1> y #, E se #y> = 1 #, então #y <= y ^ 2 <= x #, assim # x + 1> y #. Podemos mostrar que para cada conjunto não vazio de números reais, há sempre um número real único que atua como um supremo, devido à chamada completude de # RR #. Então, para todos os números reais positivos # x # existe um verdadeiro #sqrt (x) #. Nós também podemos mostrar que neste caso #sqrt (x) ^ 2 = x #, mas a menos que você queira, eu não vou provar isso aqui. Por fim, notamos que #sqrt (x)> = 0 #, Desde a #0# é um número que se encaixa na condição, conforme declarado anteriormente.

Agora, a irracionalidade da #sqrt (21) #. Se não fosse irracional (tão racional), poderíamos escrevê-lo como #sqrt (21) = a / b # com #uma# e # b # números inteiros e # a / b # simplificado tanto quanto possível, o que significa que #uma# e # b # não tem divisor comum, exceto para #1#. Agora isso significa que # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Agora usamos algo chamado fatorização primária dos números naturais. Isso significa que podemos anotar cada número inteiro positivo como um produto único de números primos. Para #21# isto é #3*7# e para #uma# e # b # isto é algum produto arbitrário de primos # a = a_1 * … * a_n # e # b = b_1 * … * b_m #. O fato de que o único divisor comum de #uma# e # b # é #1# é equivalente ao fato de que #uma# e # b # compartilhar nenhum primos em sua fatoração, então existem # a_i # e # b_j # de tal modo que # a_i = b_j #. Isso significa que # a ^ 2 # e # b ^ 2 # também não compartilham nenhum primo, # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # e # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., portanto, o único divisor comum de # a ^ 2 # e # b ^ 2 # é #1#. Desde a # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, isso significa # b ^ 2 = 1 #, assim # b = 1 #. Assim sendo #sqrt (21) = a #. Note-se que isso só se mantém sob a suposição de que #sqrt (21) # é racional.

Agora, é claro, podemos percorrer todos os números positivos inteiros menores que #21# e verifique se a quadratura deles #21#, mas este é um método chato. Para fazê-lo de uma maneira mais interessante, voltamos aos nossos primos. Nós sabemos isso # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # e #21=3*7#, assim # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. No lado esquerdo, todo primo ocorre apenas uma vez, na mão direita, todo primo ocorre pelo menos duas vezes, e sempre uma quantidade igual de vezes (se # a_1 = a_n # seria por instace ocorrer pelo menos quatro vezes). Mas, como dissemos, essas primeiras fatorações são únicas, então isso não pode estar certo. Assim sendo # 21nea ^ 2 #, assim #anesqrt (21) #, o que significa que a nossa suposição anterior de #sqrt (21) # ser racional acaba por ser errado, portanto #sqrt (21) # é irracional.

Note que o mesmo argumento vale para qualquer número inteiro positivo # x # com uma fatoração primo, em que um dos primos aparece um número ímpar de vezes, já que o quadrado de um número inteiro sempre tem todos os seus fatores primos em uma quantidade igual de vezes. A partir disso, concluímos que se # x # é um número inteiro positivo (#x inNN #) tem um fator primo que ocorre apenas uma quantidade desigual de vezes, #sqrt (x) # será irracional.

Estou ciente de que esta prova pode parecer um pouco longa, mas usa conceitos importantes da matemática. Provavelmente em qualquer currículo do ensino médio, esse tipo de raciocínio não está incluído (não tenho 100% de certeza, não conheço o currículo de cada escola do mundo), mas para matemáticos de verdade, provar coisas é uma das atividades mais importantes que eles fazem. Por isso, queria mostrar-lhe que tipo de matemática está por trás da raiz quadrada das coisas. O que você precisa tirar disso, é que de fato #sqrt (21) # é um número irracional.