Quais são os extremos absolutos de f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) em [2,9]?

Responda:

O mínimo absoluto é # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# que ocorre quando # x = 9 #.

O máximo absoluto é # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # que ocorre quando # x = 2 #.

Explicação:

Os extremos absolutos de uma função são os maiores e menores valores y da função em um determinado domínio. Este domínio pode ser dado a nós (como neste problema) ou pode ser o domínio da função em si. Mesmo quando nos é dado o domínio, devemos considerar o domínio da função em si, no caso de excluir quaisquer valores do domínio que nos são dadas.

#f (x) # contém o expoente #1/3#, que não é um inteiro. Felizmente, o domínio de #p (x) = root3 (x) # é # (- oo, oo) # então esse fato não é um problema.

No entanto, ainda precisamos considerar o fato de que o denominador não pode ser igual a zero. O denominador será igual a zero quando #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Nenhum desses valores está no domínio dado de #2,9#.

Então, nos voltamos para encontrar os extremos absolutos em #2,9#. Os extremos absolutos ocorrem nos pontos finais do domínio ou nos extremos locais, ou seja, pontos onde a função muda de direção. Extremos locais ocorrem em pontos críticos, que são pontos no domínio onde a derivada é igual #0# ou não existe. Assim, devemos encontrar a derivada. Usando a regra do quociente:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Se nós fatoramos # -3x ^ (- 2/3) # fora do numerador, temos:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Não há valores de # x # em #2,9# Onde #f '(x) # não existe. Também não há valores em #2,9# Onde #f '(x) = 0 #. Portanto, não há pontos críticos no domínio dado.

Usando o "teste de candidatos", encontramos os valores de #f (x) # nos pontos finais. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Uma verificação rápida em nossas calculadoras mostra que:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (máximo absoluto)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (mínimo absoluto)

Quais são os extremos absolutos?

Se uma função tem um máximo absoluto em x = b, então f (b) é o maior valor que f pode atingir. Uma função f tem um máximo absoluto em x = b se f (b) f (x) para todo x no domínio de f.

Quais são os extremos absolutos de f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 em [0,3]?

Em [0,3], o máximo é 19 (em x = 3) e o mínimo é -1 (em x = 1). Para encontrar os extremos absolutos de uma função (contínua) em um intervalo fechado, sabemos que os extremos devem ocorrer em qualquer número crético no intervalo ou nos pontos finais do intervalo. f (x) = x ^ 3-3x + 1 tem derivada f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 nunca é indefinido e 3x ^ 2-3 = 0 em x = + - 1. Como -1 não está no intervalo [0,3], descartamos. O único número crítico a ser considerado é 1. f (0) = 1 f (1) = -1 ef (3) = 19. Assim, o máximo é 19 (em x = 3) e

Quais são os extremos absolutos de f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) em [1,4]?

Não há máximos globais. O mínimo global é -3 e ocorre em x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, onde x 1 f '(x) = 2x - 6 O extremo absoluto ocorre em um ponto final ou no número crítico. Pontos finais: 1 e 4: x = 1 f (1): "indefinido" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 ponto (s) crítico (s): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Em x = 3 f (3) = -3 Não há maximos globais. Não há mínimos globais é -3 e ocorre em x = 3.