Responda:
A equação da parábola é # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
Explicação:
Como eixo de simetria é # x + y + 1 = 0 # e o foco reside nisso, se a abscissa do foco é # p #, ordenada é # - (p + 1) # e coordenadas de foco são # (p, - (p + 1)) #.
Além disso, directrix será perpendicular ao eixo de simetria e sua equação seria da forma # x-y + k = 0 #
Como cada ponto na parábola é equidistante do foco e da diretriz, sua equação será
# (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y + k) ^ 2/2 #
Esta parábola passa por #(0,0)# e #(0,1)# e, portanto
# p ^ 2 + (p + 1) ^ 2 = k ^ 2/2 # ………………… (1) e
# p ^ 2 + (p + 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 # …………………(2)
Subtraindo (1) de (2), obtemos
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #, que dá # k = -2p-5/2 #
Isso reduz a equação da parábola para # (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y-2p-5/2) ^ 2/2 #
e como ele passa #(0,0)#, Nós temos
# p ^ 2 + p ^ 2 + 2p + 1 = (4p ^ 2 + 10p + 25/4) / 2 # ou # 4p + 2 = 25/4 + 10p #
isto é # 6p = -17 / 4 # e # p = -17 / 24 #
e, portanto # k = -2xx (-17/24) -5 / 2 = -13 / 12 #
e equação de parábola como
# (x + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (x-y-13/12) ^ 2/2 # e multiplicando por #576=24^2#, Nós temos
ou # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12y-13) ^ 2 #
ou # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144x ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
ou # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + 576xy + 1440x-288y = 0 #
ou # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
gráfico {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11,42, 8,58, -2,48, 7,52}
