O que é lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x?

Responda:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo #

Explicação:

A expansão Maclaurin de # e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……. #

Conseqüentemente, # e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……. #

#:. lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) ((x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……) / x) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + …….) #

# = oo #

Responda:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo #

Explicação:

Se considerarmos o numerador e denominador, vemos que # e ^ x-1 # vai crescer muito mais rápido do que # x # quando # x # é grande.

Isso significa que o numerador irá "ultrapassar" o denominador e a lacuna será cada vez maior, então, no infinito, o denominador será insignificante, deixando-nos com:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) e ^ x-1 = oo #