Como você prova: secx - cosx = sinx tanx?

Usando as definições de # secx # e # tanx #, juntamente com a identidade

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, temos

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Responda:

Primeiro converta todos os termos em # sinx # e # cosx #.

Segundo, aplique regras de soma de fração ao LHS.

Por fim, aplicamos a identidade pitagórica: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Explicação:

Primeiro, em questões dessas formas, é uma boa idéia converter todos os termos em seno e cosseno: assim, substitua #tan x # com #sin x / cos x #

e substitua #seg x # com # 1 / cos x #.

O LHS #sec x-cos x # torna-se # 1 / cos x-cos x #.

O RHS # sin x tan x # torna-se #sin x sin x / cos x # ou # sin ^ 2 x / cos x #.

Agora aplicamos regras de soma fracionária ao LHS, criando uma base comum (assim como a fração numérica como #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x - cos x => 1 / cos x - cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Por fim, aplicamos a identidade pitagórica: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (uma das identidades mais úteis para esses tipos de problemas).

Ao rearranjá-lo, obtemos # 1 cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Nós substituímos o # 1- cos ^ 2 x # no LHS com # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sen ^ 2 x} / cos x # que é igual ao RHS modificado.

Assim LHS = RHS Q.E.D.

Observe que esse padrão geral de colocar as coisas em termos de seno e cosseno, usando as regras de fração e a identidade pitagórica, geralmente resolve esses tipos de perguntas.

Se assim o desejarmos, também podemos modificar o lado direito para combinar com o lado esquerdo.

Devemos escrever # sinxtanx # em termos de # sinx # e # cosx #, usando a identidade #color (vermelho) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Agora, usamos a identidade pitagórica, que é # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Podemos modificar isso para resolver # sin ^ 2x #, assim: #color (vermelho) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Agora, basta dividir o numerador:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Use a identidade recíproca #color (vermelho) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Responda:

É bem simples assim …

Explicação:

Usando a identidade # tanx = sinx / cosx #, multiplique o # sinx # na identidade para obter:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Então, multiplique # cosx # através da equação para produzir:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Considerando que # secx # é o inverso de # cosx #.

Finalmente, usando a identidade trigonométrica # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, a resposta final seria:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #