Responda:
A série converge absolutamente.
Explicação:
Primeiro note que:
e
Portanto, se
Esta é uma série p com
Portanto, a série converge absolutamente:
Veja http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html para mais informações.
Usando a definição de convergência, como você prova que a sequência {5+ (1 / n)} converge de n = 1 para infinito?
Seja: a_n = 5 + 1 / n então para qualquer m, n em NN com n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m-5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) como n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n e como 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dado qualquer número real epsilon> 0, escolha um inteiro N> 1 / epsilon. Para quaisquer inteiros m, n> N temos: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon que comprova a condição de Cauchy para a convergência de uma sequência.
Usando a definição de convergência, como você prova que a sequência {2 ^ -n} converge de n = 1 para infinito?
Use as propriedades da função exponencial para determinar N como | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon para cada m, n> N A definição de convergência declara que {a_n} converge se: AA épsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | Então, dado epsilon> 0 tomar N> log_2 (1 / epsilon) e m, n> N com m <n Como m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 so | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Agora como 2 ^ x é sempre positivo, (1- 2 ^ (mn)) <1, então 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) E
Como você usa o Teste Integral para determinar a convergência ou divergência da série: soma n e ^ -n de n = 1 até infinito?
Pegue a integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, que é finita, e observe que ela limita a soma_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Portanto, é convergente, portanto, sum (n = 1) também é (n). A declaração formal do teste integral afirma que se fin [0, oo) rightarrowRR uma função decrescente monotônica que é não-negativa. Então a soma sum (n = 0) ^ oof (n) é convergente se e somente se "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx for finito. (Tau, Terence. Análise I, segunda edição. Agência do livro Hindustan. 2009). Esta afirmação pode parecer um p