Como você usa o Teste Integral para determinar a convergência ou divergência da série: soma n e ^ -n de n = 1 até infinito?

Responda:

Pegue a integral # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, que é finito, e observe que isso limita #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Portanto, é convergente, então #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # é também.

Explicação:

A declaração formal do teste integral afirma que se #fin 0, oo) rightarrowRR # uma função decrescente monótona que não é negativa. Então a soma #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # é convergente se e somente se # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # é finito. (Tau, Terence. Análise I, segunda edição. Agência do livro Hindustan. 2009).

Esta afirmação pode parecer um pouco técnica, mas a ideia é a seguinte. Tomando neste caso a função #f (x) = xe ^ (- x) #, notamos que para #x> 1 #esta função está diminuindo. Podemos ver isso tomando a derivada. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, Desde a #x> 1 #, assim # (1-x) <0 # e #e ^ (- x)> 0 #.

Devido a isso, notamos que para qualquer #ninNN _ (> = 2) # e #x em 1, oo) # de tal modo que #x <= n # temos #f (x)> = f (n) #. Assim sendo #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, assim #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + soma_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ oo ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # usando integração por partes e que #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Desde a #f (x)> = 0 #, temos # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, assim #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Desde a #f (n)> = 0 #, as séries #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # aumenta como # N # aumenta. Uma vez que é limitada por # 3 / e #deve convergir. Assim sendo #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # converge.

Como determinar a convergência ou divergência da sequência an = ln (n ^ 2) / n?

A sequência converge Para descobrir se a sequência a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n converge, observamos o que a_n é como n-> oo. n lim (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Usando a regra de l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Como lim_ (n-> oo) a_n é um valor finito, a seqüência converge.

Como encontro a convergência ou divergência desta série? soma de 1 a infinito de 1 / n ^ lnn

Converge Considere a série sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, onde p> 1. Pelo teste p, esta série converge. Agora, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p para todos os grandes o suficiente n contanto que p seja um valor finito. Assim, pelo teste de comparação direta, sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n converge. De fato, o valor é aproximadamente igual a 2.2381813.

Como você testa a convergência para soma (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) para k = 1 a infinito?

A série converge absolutamente. Primeiro note que: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 para k = 1 ... oo e (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 para k = 1 ... oo Portanto, se sum5 / k ^ 3 convergir, somará soma (4 + abs (cosk)) / k ^ 3, uma vez que será menor que a nova expressão (e positiva). Esta é uma série p com p = 3> 1. Portanto, a série converge absolutamente: Veja http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html para mais informações.