Qual número de dois dígitos é igual ao quadrado da soma?

Responda:

#81#

Explicação:

Se o dígito das dezenas é #uma# e o dígito das unidades # b #, então #a, b # deve satisfazer:

# 10a + b = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Subtraindo # 10a + b # de ambas as extremidades, isso se torna:

# 0 = a ^ 2 + 2 (b-5) a + b (b-1) #

#color (branco) (0) = a ^ 2 + 2 (b-5) + (b-5) ^ 2 + (b (b-1) - (b-5) ^ 2) #

#color (branco) (0) = (a + (b-5)) ^ 2+ (b ^ 2-b-b ^ 2 + 10b-25)) #

#color (branco) (0) = (a + (b-5)) ^ 2- (25-9b) #

Assim:

# a + b-5 = + -sqrt (25-9b) #

Para que # 25-9b # para ser um quadrado perfeito, precisamos # b = 1 #.

Então:

# a + b-5 = + -sqrt (25-9) = + -sqrt (16) = + -4 #

Assim:

#a = 5-b + -4 = 4 + -4 #

Então, o único valor diferente de zero para #uma# é # a = 8 #.

Nós achamos:

#81 = 9^2 = (8+1)^2' '# como requerido.

Alternativamente, poderíamos apenas ter olhado os primeiros números quadrados e verificado:

#16 = 4^2 != (1+6)^2#

#25 = 5^2 != (2+5)^2#

#36 = 6^2 != (3+6)^2#

#49 = 7^2 != (4+9)^2#

#64 = 8^2 != (6+4)^2#

#81 = 9^2 = (8+1)^2' '# Sim.