Prove: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Provar # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Deixei # cos ^ -1x = teta #

# => x = costheta #

Agora # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

exposição

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Às vezes trigésimo é menos sobre matemática e mais sobre reconhecer matemática quando a vemos. Aqui nós reconhecemos # 4x ^ 3 -3x # como a fórmula do ângulo triplo cosseno, # cos (3 theta) # quando # x = cos theta #.

Factóide: # 4x ^ 3-3x # também é chamado # T_3 (x) #, o terceiro polinômio de Chebyshev do primeiro tipo. Em geral, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Vamos supor # arccos # refere-se ao valor principal. Eu prefiro chamar o principal #text {Arc} texto {cos} # mas é mais difícil de digitar.

Fundo suficiente. Depois de reconhecermos a fórmula de triplo ângulo, a prova é fácil.

Prova:

Deixei #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 teta - 3 cos teta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

Arccos # 3 x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #