Qual é o comprimento de ar de (t-3, t + 4) em t em [2,4]?

Responda:

# A = 2sqrt2 #

Explicação:

A fórmula para o comprimento do arco paramétrico é:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

Começamos por encontrar os dois derivados:

# dx / dt = 1 # e # dy / dt = 1 #

Isso dá ao comprimento do arco:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

De fato, como a função paramétrica é tão simples (é uma linha reta), nem precisamos da fórmula integral. Se traçarmos a função em um gráfico, podemos usar a fórmula de distância regular:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

Isso nos dá o mesmo resultado que a integral, mostrando que qualquer um dos métodos funciona, embora neste caso eu recomende o método gráfico porque é mais simples.