Pergunta # 69feb

Responda:

Linha normal: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Linha tangente: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Explicação:

Para intuição: imagine que a função #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # descreve a altura de alguns terrenos, onde # x # e # y # são coordenadas no plano e #ln (y) # é assumido como sendo o logaritmo natural. Então tudo # (x, y) # de tal modo que #f (x, y) = a # (a altura) é igual a alguma constante #uma# são chamadas curvas de nível. No nosso caso, a altura constante #uma# é zero, desde #f (x, y) = 0 #.

Você pode estar familiarizado com mapas topográficos, nos quais as linhas fechadas indicam linhas de igual altura.

Agora o gradiente #grad f (x, y) = ((parcial f) / (parcial x), (parcial f) / (parcial x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # nos dá a direção em um ponto # (x, y) # no qual #f (x, y) # (a altura) muda o mais rápido. Isso é direto para cima ou para baixo do morro, contanto que nosso terreno seja liso (diferenciável), e não estamos em um topo, em um fundo ou em um platô (um ponto extremo). Esta é de fato a direção normal para uma curva de altura constante, tal que # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Portanto, o linha normal nessa direção passando por # (2, e ^ 2) # pode ser descrito como

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, Onde #s em mathbbR # é um parâmetro real. Você pode eliminar # s # expressar # y # como a função de # x # se você preferir, encontrar

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

A derivada direcional na direção da tangente deve ser #0# (o que significa que a altura não muda), então um vetor tangente # (u, v) # deve satisfazer

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, Onde # cdot # significa o produto escalar. assim # (u, v) = (1, e ^ 2) # é uma escolha válida. Portanto, o linha tangente passando por # (2, e ^ 2) # pode ser descrito como

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t em mathbbR #.

Resolvendo para # y # dá isso

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Você deveria finalmente checar # (2, e ^ 2) # encontra-se na curva #f (x, y) #, na linha tangente e na linha normal.