Quais são os extremos locais, se houver, de f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Responda:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # tem um mínimo local para # x = 1 # e um máximo local para # x = 3 #

Explicação:

Nós temos:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

a função é definida em todos # RR # Como # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Podemos identificar os pontos críticos encontrando onde a primeira derivada é igual a zero:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

então os pontos críticos são:

# x_1 = 1 # e # x_2 = 3 #

Como o denominador é sempre positivo, o sinal de #f '(x) # é o oposto do sinal do numerador # (x ^ 2-4x + 3) #

Agora sabemos que um polinômio de segunda ordem com coeficiente líder positivo é positivo fora do intervalo compreendido entre as raízes e negativo no intervalo entre as raízes, de forma que:

#f '(x) <0 # para #x em (-oo, 1) # e #x em (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # para #x em (1,3) #

Nós temos então que #f (x) # está diminuindo em # (- oo, 1) #, aumentando em #(1,3)#e novamente diminuindo # (3, + oo) #, de modo a # x_1 = 1 # deve ser um mínimo local e # x_2 = 3 # deve ser um máximo local.

gráfico {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}