Qual é o perímetro de um octógono regular com raio de comprimento 20?

Responda:

Depende:

Se o raio interno é #20#então o perímetro é:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132,55 #

Se o raio externo for #20#então o perímetro é:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

Explicação:

Aqui o círculo vermelho circunscreve o raio externo e o círculo verde o interior.

Deixei # r # seja o raio externo - esse é o raio do círculo vermelho.

Então os vértices do octógono centraram-se em #(0, 0)# estão em:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

O comprimento de um lado é a distância entre # (r, 0) # e # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Então, o perímetro total é:

#color (vermelho) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Então, se o raio externo é #20#então o perímetro é:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#cor branca)()#

O raio interno será # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

assim #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Então o perímetro total é

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = cor (verde) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Então, se o raio interno é #20#então o perímetro é:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~ ~ 132,55 #

#cor branca)()#

Quão boa aproximação para # pi # isso nos dá?

Enquanto estamos aqui, que aproximação para # pi # obtemos calculando a média dos raios interno e externo?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… então não é ótimo.

Para obter uma aproximação tão boa quanto #355/113 ~~ 3.1415929#, o matemático chinês Zu Chongzhi usou um #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) Polígono e contagem de varetas.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi