O que (3 + i) ^ (1/3) é igual a + bi?

Responda:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + raiz (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Explicação:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alfa)) # Onde #alpha = arctan (1/3) #

assim

#root (3) (3 + i) = raiz (3) (sqrt (10)) (cos (alfa / 3) + i sin (alfa / 3)) #

# = raiz (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = raiz (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + raiz (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Desde a # 3 + i # está no Q1, esta principal raiz cúbica de # 3 + i # também está no Q1.

As outras duas raízes cúbicas de # 3 + i # são expressos usando o primitivo Raiz cúbica Complexa da unidade #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (raiz (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + raiz (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = raiz (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + raiz (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) eu #

# omega ^ 2 (raiz (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + raiz (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = raiz (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + raiz (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) eu #