Prove que um elemento de um domínio integral é uma unidade se ele gera o domínio.

Prove que um elemento de um domínio integral é uma unidade se ele gera o domínio.
Anonim

Responda:

A afirmação é falsa.

Explicação:

Considere o anel de números do formulário:

# a + bsqrt (2) #

Onde #a, b em QQ #

Este é um anel comutativo com identidade multiplicativa #1 != 0# e nenhum divisor zero. Isto é, é um domínio integral. Na verdade, também é um campo, pois qualquer elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo.

O inverso multiplicativo de um elemento diferente de zero na forma:

# a + bsqrt (2) "" # é # "" a / (a ^ 2-2b ^ 2) -b / (a ^ 2-2b ^ 2) sqrt (2) #.

Então, qualquer número racional diferente de zero é uma unidade, mas não gera o anel inteiro, uma vez que o subring gerado por ele conterá apenas números racionais.