Um triângulo tem os lados A, B e C. Os lados A e B têm comprimentos de 2 e 4, respectivamente. O ângulo entre A e C é (7pi) / 24 e o ângulo entre B e C é (5pi) / 8. Qual é a área do triângulo?

Responda:

A área é # sqrt {6} - sqrt {2} # unidades quadradas, sobre #1.035#.

Explicação:

A área é metade do produto dos dois lados vezes o seno do ângulo entre eles.

Aqui nos é dado dois lados, mas não o ângulo entre eles, nos é dado o outros dois ângulos em vez de. Então, primeiro determine o ângulo que falta, observando que a soma dos três ângulos é # pi # radianos:

# theta = pi- {7 pi} / {24} - {5 pi} / {8} = pi / {12} #.

Então a área do triângulo é

Área # = (1/2) (2) (4) sin (pi / {12}) #.

Nós temos que computar # sin (pi / {12}) #. Isso pode ser feito usando a fórmula para o seno de uma diferença:

#sin (pi / 12) = sin (cor (azul) (pi / 4) -color (ouro) (pi / 6)) #

# = sin (cor (azul) (pi / 4)) cos (cor (ouro) (pi / 6)) - cos (cor (azul) (pi / 4)) sin (cor (ouro) (pi / 6)) #

# = ({ sqrt {2}} / 2) ({ sqrt {3}} / 2) - ({ sqrt {2}} / 2) (1/2) #

# = { sqrt {6} - sqrt {2}} / 4 #.

Então a área é dada por:

Área # = (1/2) (2) (4) ({ sqrt {6} - sqrt {2}} / 4) #

# = sqrt {6} - sqrt {2} #.