Um triângulo tem lados A, B e C. Os lados A e B têm comprimentos de 10 e 8, respectivamente. O ângulo entre A e C é (13pi) / 24 e o ângulo entre B e C é (pi) 24. Qual é a área do triângulo?

Responda:

Como os ângulos triangulares se somam # pi # podemos descobrir o ângulo entre os lados dados e a fórmula de área dá

#A = frac 1 2 a b sin C = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #.

Explicação:

Ajuda se todos nós mantivermos a convenção dos lados de letras pequenas #abc# e letra maiúscula oposta a vértices #ABC#. Vamos fazer isso aqui.

A área de um triângulo é # A = 1/2 a b sin C # Onde # C # é o ângulo entre #uma# e # b #.

Nós temos # B = frac {13 pi} {24} # e (supondo que seja um erro de digitação na pergunta) # A = pi / 24 #.

Como os ângulos dos triângulos somam # 180 ^ circ # aka # pi # Nós temos

#C = pi - pi / 24 - frac {13 pi} {24} = frac {10 pi} {24} = frac {5pi} {12} #

# frac {5pi} {12} # é # 75 ^ circ # Nós obtemos seu seno com a fórmula do ângulo de soma:

# sin 75 ^ circ = sin (30 + 45) = sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45 #

# = (frac 1 2 + frac sqrt {3} 2) sqrt {2} / 2 #

# = frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

Então nossa área é

#A = frac 1 2 a b sin C = frac 1 2 (10) (8) frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

#A = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #

Pegue a resposta exata com um grão de sal porque não está claro se adivinhamos corretamente o que o autor da pergunta quis dizer com o ângulo entre # B # e # C #.