Avalie a integral indefinida: sqrt (10x x ^ 2) dx?

Responda:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Explicação:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Complete o quadrado

#int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Substituto # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Substituto # u = 5sin (v) # e # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Simplificar, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Refinar, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Tire a constante, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Aplicar fórmulas de ângulo duplo

# 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Tire a constante, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integrar, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Substituir de volta # v = arcsin (u / 5) # e # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + cancelar (1 / 2sin) (cancelar (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Simplificar, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Refinar, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, Onde # c # é a constante da integração.

Tadaa: D

Responda:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25/2 arcsin ((x-5) / 5) + c #

Explicação:

O que é #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Observe que o domínio da função que está sendo integrada é onde a quadrática interna é positiva, ou seja, # x em 0, 10 #

Essa expressão pode ser integrada usando substituições. Embora um possível caminho para a integração não se apresente imediatamente, se competirmos o quadrado, então uma substituição trigonométrica pode ser realizada:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

O que, notamos, está na forma de substituição trigonométrica clássica, ou seja, o quadrado de um número menos o quadrado de um linear # x # função.

Primeiro, para se livrar do linear, deixamos #u = x-5 #, que dá # du = dx #, então podemos reescrever a integral acima como:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Agora, para a segunda substituição, vamos #u = 5sintheta #, que altera a integral para:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (podemos ignorar os valores absolutos)

Claro, o # dx # não está ajudando, então diferenciamos a equação de substituição para obter: #du = 5costheta d theta #, então a integral se torna:

# 25 por cos ^ 2 teta d teta #

Agora podemos usar uma fórmula de duplo ângulo para fazer a integração # cos ^ 2 theta # Mais fácil:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2teta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Então a integral se torna:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (usando uma fórmula de duplo ângulo)

Agora, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Conseqüentemente, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

E, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25/2 arcsin ((x-5) / 5) + c #