Qual é o vetor unitário que é ortogonal ao plano contendo (i -2j + 3k) e (i - j + k)?

Responda:

Há duas etapas para encontrar essa solução: 1. Encontre o produto vetorial dos dois vetores para encontrar um vetor ortogonal ao plano que os contém e 2. normalize esse vetor de forma que ele tenha comprimento unitário.

Explicação:

O primeiro passo para resolver este problema é encontrar o produto cruzado dos dois vetores. O produto cruzado, por definição, encontra um vetor ortogonal ao plano no qual os dois vetores sendo multiplicados se encontram.

# (i 2j + 3k) xx (i j + k) #

= # ((- 2 * 1) - (3 * -1)) i + ((3 * 1) - (1 * 1)) j + ((1 * -1) - (- 2 * 1)) k #

= # (- 2 - (- 3)) i + (3-1) j + (- 1 - (- 2)) k #

= # (i + 2j + k) #

Este é um vetor ortogonal ao plano, mas ainda não é um vetor unitário. Para torná-lo, precisamos "normalizar" o vetor: dividir cada um de seus componentes por seu comprimento. O comprimento de um vetor # (ai + bj + ck) # É dado por:

#l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

Nesse caso:

#l = sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt6 #

Dividindo cada componente de # (i + 2j + k) # por # sqrt6 # rende a nossa resposta, que é que o vetor unitário ortogonal ao plano em que # (i 2j + 3k) e (i j + k) # mentira é:

# (i / sqrt6 + 2 / sqrt6j + k / sqrt6) #