A meia-vida do cobalto 60 é de 5 anos. Como você obtém um modelo de decaimento exponencial para o cobalto 60 na forma Q (t) = Q0e ^ -kt?

Responda:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Explicação:

Montamos uma equação diferencial. Sabemos que a taxa de mudança do cobalto é proporcional à quantidade de cobalto presente. Também sabemos que é um modelo de decaimento, então haverá um sinal negativo:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Este é um diff eq agradável, fácil e seperable:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + c #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# implica em ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Levante cada lado para exponenciais:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Agora que conhecemos a forma geral, precisamos descobrir o que #k # é.

Que meia vida seja denotada por # tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#tentanto 1/2 = e ^ (- ktau) #

Tome troncos naturais de ambos os lados:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Para a limpeza, reescreva #ln (1/2) = -ln (2) #

# por isso k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) ano ^ (- 1) #

#tentanto Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #