Qual é a equação da linha que passa por (4, -2) e é perpendicular a y = x?

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da linha perpendicular. Isto é feito tomando o declive da equação dada, e encontrando o oposto recíproco disso. Neste caso, a equação # y = x # é o mesmo que # y = 1x #, então a inclinação dada seria 1.

Agora, encontramos o oposto recíproco colocando o declive dado sobre um, como tal:

#1/1#

Então, mudamos o sinal, seja de positivo para negativo, ou vice-versa. Neste caso, a inclinação dada é positiva, então nós a tornaríamos negativa, como tal:

#(1/1)*-1 = -1/1#

Depois de encontrar o oposto do declive, devemos encontrar o recíproco; isso é feito trocando-se o numerador e o denominador (com eles trocando de lugar). Como a inclinação dada já é 1, não haverá uma mudança drástica, como mostrado abaixo:

#-1/1 = -1/1#

Então, o novo declive da linha perpendicular é -1

Agora que temos a inclinação, podemos usar o equação de declive de pontos para encontrar a equação da nova linha. A fórmula é tal:

# y-y_1 = m (x-x_1) #

Onde # y_1 # e # x_1 # são as coordenadas dadas e # m # é a inclinação. Agora, conectando as informações fornecidas, devemos ser capazes de resolver o problema:

# y-y_1 = m (x-x_1) #

=> #y - (- 2) = -1 (x- (4)) #

=> # y + 2 = -1 (x-4) #

=> # y + 2 = -1x + 4 #

=> #y = -1x + 2 #

Resposta final: => #y = -1x + 2 #