Dois cantos de um triângulo isósceles estão em (7, 4) e (3, 1). Se a área do triângulo é 64, quais são os comprimentos dos lados do triângulo?

Responda:

os comprimentos são #5# e # 1 / 50sqrt (1654025) = 25,7218 #

e # 1 / 50sqrt (1654025) = 25,7218 #

Explicação:

Deixei # P_1 (3, 1), P_2 (7, 4), P_3 (x, y) #

Use a fórmula para a área de um polígono

# Área = 1/2 ((x_1, x_2, x_3, x_1), (y_1, y_2, y_3, y_1)) #

# Area = 1/2 (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3) #

# 64 = 1/2 ((3,7, x, 3), (1,4, y, 1)) #

# 128 = 12 + 7y + x-7-4x-3y #

# 3x-4y = -123 "" #primeira equação

Precisamos de uma segunda equação, que é a equação da mediatriz perpendicular do segmento conectando # P_1 (3, 1) e P_2 (7, 4) #

a inclinação # = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) = (4-1) / (7-3) = 3/4 #

para a equação bissetriz perpendicular, precisamos de inclinação#=-4/3# e o ponto médio #M (x_m, y_m) # do # P_1 # e # P_2 #

# x_m = (x_2 + x_1) / 2 = (7 + 3) / 2 = 5 #

# y_m = (y_2 + y_1) / 2 = (4 + 1) / 2 = 5/2 #

Equação bissectora perpendicular

# y-y_m = -4 / 3 (x-x_m) #

# y-5/2 = -4 / 3 (x-5) #

# 6y-15 = -8x + 40 #

# 8x + 6y = 55 "" #segunda equação

Solução simultânea usando as primeiras e segundas equações

# 3x-4y = -123 "" #

# 8x + 6y = 55 "" #

# x = -259 / 25 # e # y = 1149/50 #

e # P_3 (-259/25, 1149/50) #

Agora podemos calcular para os outros lados do triângulo usando a fórmula de distância para # P_1 # para # P_3 #

# d = sqrt ((x_1-x_3) ^ 2 + (y_1-y_3) ^ 2) #

# d = sqrt ((3-259 / 25) ^ 2 + (1-1149 / 50) ^ 2) #

# d = 1 / 50sqrt (1654025) #

# d = 257218 #

Agora podemos calcular para os outros lados do triângulo usando a fórmula de distância para # P_2 # para # P_3 #

# d = sqrt ((x_2-x_3) ^ 2 + (y_2-y_3) ^ 2) #

# d = sqrt ((7--259 / 25) ^ 2 + (4-1149 / 50) ^ 2) #

# d = 1 / 50sqrt (1654025) #

# d = 257218 #

Deus abençoe … Espero que a explicação seja útil.