Como você encontra os valores mínimos absolutos e máximo absoluto de f no intervalo dado: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) em [-1, 5]?

Responda:

Reqd. valores extremos são #25 / 2 e 25/2 #.

Explicação:

Nós usamos substituição # t = 5sinx, t em -1,5 #.

Observe que esta substituição é permissível, porque

# t em -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, que vale bem, como gama de #pecado# Diversão. é #-1,1#.

Agora, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Desde a, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Portanto, reqd. extremidades são #25 / 2 e 25/2 #.

Responda:

Encontre a monotonia da função a partir do sinal da derivada e decida quais máximos / mínimos locais são maiores e menores.

O máximo absoluto é:

#f (3.536) = 12,5 #

Mínimo absoluto é:

#f (-1) = - 4.899 #

Explicação:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

A derivada da função:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• O numerador tem duas soluções:

  # t_1 = sqrt (12,5) = 3,536 #

  # t_2 = -sqrt (12,5) = - 3,536 #

  Portanto, o numerador é:

  Negativo para #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positivo para #t em (-3.536,3.536) #

• O denominador é sempre positivo em # RR #, já que é uma raiz quadrada.

  Finalmente, o intervalo dado é #-1,5#

Portanto, a derivada da função é:

- Negativo para #t em -1,3,536) #

- Positivo para #t em (3.536,5) #

Isso significa que o gráfico em primeiro lugar sobe #f (-1) # para #f (3.536) # e depois desce para #f (5) #. Isto faz #f (3.536) # o máximo absoluto e o maior valor de #f (-1) # e #f (5) # é o mínimo absoluto.

O máximo absoluto é #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12,5 #

Para o máximo absoluto:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Assim sendo, #f (-1) = - 4.899 # é o mínimo absoluto.

Você pode ver no gráfico abaixo que isso é verdade. Apenas ignore a área à esquerda de #-1# já que está fora do domínio:

gráfico {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}