Como você prova que: (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (seg (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Responda:

Faça alguma multiplicação conjugada, faça uso de identidades trigonométricas e simplifique. Ver abaixo.

Explicação:

Lembre-se da identidade pitagórica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Divida os dois lados por # cos ^ 2x #:

# (sen ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

Nós estaremos fazendo uso desta importante identidade.

Vamos nos concentrar nesta expressão:

# secx + 1 #

Note que isso é equivalente a # (secx + 1) / 1 #. Multiplique a parte superior e inferior por # secx-1 # (esta técnica é conhecida como multiplicação conjugada):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (seg ^ 2x-1) / (secx-1) #

De # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, nós vemos que # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Portanto, podemos substituir o numerador por # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) #

Nosso problema agora diz:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Nós temos um denominador comum, então podemos adicionar as frações do lado esquerdo:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

As tangentes são canceladas:

# (cancelar (tan ^ 2x) + 1-cancelar (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Deixando-nos com:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Desde a # secx = 1 / cosx #, podemos reescrever isso como:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Adicionando frações no denominador, vemos:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Usando a propriedade # 1 / (a / b) = b / a #, temos:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

E isso completa a prova.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (seg ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = cosx / cosx * ((seg ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (vermelho) ("colocando", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (vermelho) ("colocando", cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #