Qual é o vetor unitário que é ortogonal ao plano contendo (- 5 i + 4 j - 5 k) e (4 i + 4 j + 2 k)?

Responda:

Existem dois passos: (1) encontrar o produto cruzado dos vetores, (2) normalizar o vetor resultante. Nesse caso, a resposta é:

# ((28) / (46.7) i- (10) / (46.7) j- (36) / (46.7) k) #

Explicação:

O produto cruzado de dois vetores produz um vetor que é ortogonal (em ângulos retos) para ambos.

O produto cruzado de dois vetores #(uma#Eu# + b #j# + c #k#)# e # (p #Eu# + q #j# + r #k#)# É dado por # (b * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

O primeiro passo é encontrar o produto cruzado:

# (- 5i + 4j 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- - 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Este vetor é ortogonal a ambos os vetores originais, mas não é um vetor unitário. Para torná-lo um vetor unitário, precisamos normalizá-lo: dividir cada um de seus componentes pelo comprimento do vetor.

# l = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # unidades

O vetor unitário ortogonal aos vetores originais é:

# ((28) / (46.7) i- (10) / (46.7) j- (36) / (46.7) k) #

Este é um vetor unitário que é ortogonal a ambos os vetores originais, mas há outro - o exato na direção oposta. Simplesmente alterar o sinal de cada um dos componentes produz um segundo vetor ortogonal aos vetores originais.

# (- (28) / (46.7) i + (10) / (46.7) j + (36) / (46.7) k) #

(mas é o primeiro vetor que você deve oferecer como resposta em um teste ou tarefa!)