Qual é o valor aproximado de sqrt {107}?

Responda:

#sqrt (107) ~~ 31/3 ~~ 10.33 #

Explicação:

Observe que:

#10^2 = 100#

#11^2 = 121#

#107# é exatamente #1/3# do caminho entre #100# e #121#.

Isso é:

#(107-100)/(121-100) = 7/21 = 1/3#

Então, podemos interpolar linearmente entre #10# e #11# encontrar:

#sqrt (107) ~~ 10 + 1/3 (11-10) = 10 + 1/3 = 31/3 ~~ 10.33 #

(Para interpolar linearmente neste exemplo é aproximar a curva da parábola do gráfico de # y = x ^ 2 # entre #(10, 100)# e #(11, 121)# como uma linha reta)

Bônus

Para mais precisão, podemos usar:

#sqrt (a ^ 2 + b) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))) #

Colocando # a = 31/3 # nós queremos:

#b = 107- (31/3) ^ 2 = 963/9 - 961/9 = 2/9 #

Então:

#sqrt (107) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + …))) #

Então, como primeiro passo de melhoria:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3) = 31/3 + 1/93 = 962/93 ~~ 10.3441 #

Se queremos mais precisão, use mais termos:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3)) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + 1/93) = 31/3 + (2/9) / (1923/93) = 31/3 + 62/5769 = 59675/5769 ~~ 10.34408043 #