Intervalo de e ^ x / ([x] +1), x> 0 e onde [x] indica o maior inteiro?

Responda:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Explicação:

eu assumo # x # é o menor inteiro maior que # x #. Na seguinte resposta, usaremos a notação #ceil (x) #, chamado a função de teto.

Deixei #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Desde a # x # é estritamente maior que #0#, isso significa que o domínio de # f # é # (0, + oo) #.

Como #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # e desde # e ^ x # é sempre positivo # f # é sempre estritamente maior do que #0# em seu domínio. É importante notar que # f # é não injetivo e também não é contínuo nos números naturais. Para provar isso, vamos # n # seja um número natural:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Porque #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Similarmente, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Como os limites dos lados esquerdo e direito não são iguais, # f # não é contínuo nos inteiros. Além disso, #L> R # para todos #n em NN #.

Como # f # está aumentando em intervalos limitados pelos inteiros positivos, os "menores valores" por intervalo serão como # x # aproxima-se do limite inferior da direita.

Assim, o valor mínimo de # f # vai ser

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Este é o limite inferior do intervalo de # f #.

Embora não seja realmente correto dizer que # f # está aumentando, é no sentido, assintoticamente, se aproxima do infinito - como se comprovou a seguir:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Como #ceilx> = x #existe uma #delta <1 # de tal modo que # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Deixei #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # aumenta exponencialmente enquanto #você# faz isso de forma linear, o que significa que

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Portanto, a gama de # f # é

# "Intervalo" = (1/2, oo) #

O intervalo é aberto à esquerda porque #http: // 2 # está parado #f (0) #, e como # x # aproximações #0^+#, #f (x) # somente abordagens #http: // 2 #; nunca é verdadeiramente igual.