Responda:
Veja a explicação …
Explicação:
E se # p = q = r # então:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Portanto, qualquer zeros que eles tenham será em comum.
Observe que essas condições não são necessárias.
Por exemplo, se # p = 0 #, #q! = 0 # e #r! = 0 # então:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # tem raiz # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # tem raízes # x = -r / q # e # x = 0 #
Então as duas equações têm uma raiz em comum, mas #p! = q # e nós não exigimos # p + q + r = 0 #.
Responda:
Por favor veja abaixo.
Explicação:
Como # px ^ 2 + qx + r = 0 # e # qx ^ 2 + rx + p = 0 # tem raiz comum, deixe esta raiz ser #alfa#. Então
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # e # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
e, portanto # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
e # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # e # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
isto é # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
ou # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
ou # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
ou # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # e dividindo por # p #
ou # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
isto é # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Portanto, seja # p + q + r = 0 # ou # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Observe que # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alfa ^ 2 + alfa + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp #
e se # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, temos # alpha ^ 2 + alfa + 1 = 0 # isto é # p = q = r #
