Por que (x + h) ^ 2 <k é o mesmo que -k <x + h <k?

Responda:

# "Apenas uma coisa menor - o que você pediu, como indicado em não correto." #

# "Mas há uma correção natural, que é o que eu acho que você" #

# "significou. Deixe-me tomar isto como o que se queria dizer:" #

# "Por que é" (x + h) ^ 2 <k "o mesmo que" - sqrt {k} <x + h <sqrt {k} "?" #

# "Mostraremos isso. Vamos começar com a direção para frente. Nós" #

# "Vejo:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad (x + h) ^ 2 <k quad => quad (x + h) ^ 2 <(sqrt {k}) ^ 2. #

# "Então aqui temos agora:" #

# qquadqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

# "Então, usando a diferença de dois quadrados, podemos fatorar o" #

# "lado esquerdo da desigualdade anterior, e nós temos:" #

# qquad qquad qquad quad (x + h) + (sqrt {k}) cdot (x + h) - (sqrt {k}) <0. qquad qquad qquad (1) #

# "Agora, se o produto de 2 (reais) números for negativo, o que pode" #

# "dizemos sobre eles? Eles devem ter sinais opostos -" #

# "um negativo, o outro positivo". #

# "Esta é a situação na desigualdade em (1). Então nós concluímos:" #

# qquad (x + h) + (sqrt {k}) <0 qquad "e" qquad (x + h) - (sqr {k})> 0 qquad (a) #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad

# qquad (x + h) + (sqrt {k})> 0 qquad "e" qquad (x + h) - (sqr {k}) <0. qquad (b) #

# "Agora olhe para o primeiro par de desigualdades - (a) e analise-as:" #

# qquad quad (x + h) + (sqrt {k}) <0qquad "e" qquad (x + h) - (sqrt {k})> 0 #

# qquad qquad quad (x + h) <- (sqrt {k}) qquad "e" qquad (x + h)> + (sqrt {k}) #

# qquadqquadqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

# qquad:. qquad qquad qquad qquad qquad quad sqrt {k} <x + h <- sqrt {k}. #

# "Note que a desigualdade tripla anterior é impossível, por isso" #

# "significaria isso:" sqrt {k} <- sqrt {k}; "implicando um número positivo" #

# "pode ser menor que um número negativo.Assim, a desigualdade "#

# "in (a) é impossível. Portanto, concluímos que apenas a desigualdade" #

# "in (b) pode ser verdade. Por isso:" #

# qquad quad (x + h) + (sqrt {k})> 0 qquad "e" qquad (x + h) - (sqr {k}) <0. #

# "Analisando:" #

# qquad qquad quad (x + h)> - (sqrt {k}) qquad "e" qquad (x + h)> + (sqrt {k}) #

Qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

# qquad:. qquad qquad qquad qquad quad -sqrt {k} <x + h <+ sqrt {k}. #

# "Assim concluímos, finalmente, que:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad -sqrt {k} <x + h <+ sqrt {k}. #

# "Então, dizendo coisas do começo ao fim aqui, nós mostramos:" #

# qquad qquad qquad quad (x + h) ^ 2 <k quad => quad -sqrt {k} <x + h <+ sqrt {k}. qquad quad quad (2) #

# "Isso mostra a direção para frente." #

# "Combinando os resultados em (2) e (5), vemos:" #

# (x + h) ^ 2 <k qquad "é precisamente o mesmo que" quad - sqrt {k} <x + h <sqrt {k}. #

# "É isso que queríamos estabelecer." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #