Que fato matemático, divertido e útil, você sabe que normalmente não é ensinado na escola?

Responda:

Como avaliar "torres de expoentes", como #2^(2^(2^2))#e como calcular o último dígito de # 2 ^ n, # # ninNN #.

Explicação:

Para avaliar essas "torres", começamos no topo e descemos.

Assim:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Em uma nota semelhante, mas pouco relacionada, também sei como calcular os últimos dígitos do #2# elevado a qualquer expoente natural. O último dígito de #2# aumentado para algo sempre circula entre quatro valores: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Então, se você quiser encontrar o último dígito de # 2 ^ n #, encontre o lugar onde está no ciclo e você saberá seu último dígito.

Responda:

E se #n> 0 # e #uma# é uma aproximação para #sqrt (n) #, então:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

Onde #b = n-a ^ 2 #

Explicação:

Suponha que queremos encontrar a raiz quadrada de algum número #n> 0 #.

Além disso, gostaríamos que o resultado fosse algum tipo de fração contínua que se repete a cada passo.

Experimentar:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (branco) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (branco) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Subtrair #uma# de ambas as extremidades para obter:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Multiplique ambos os lados por #sqrt (n) + a # para obter:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Então se # a ^ 2 # é um pouco menos que # n #, então # b # será pequena e a fração continuada convergirá mais rapidamente.

Por exemplo, se tivermos # n = 28 # e escolha # a = 5 #, então nós temos:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Assim:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

o que nos dá aproximações:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5,29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Uma calculadora me diz #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Portanto, isso não está convergindo de maneira particularmente rápida.

Alternativamente, podemos colocar # n = 28 # e # a = 127/24 # encontrar:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Assim:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

dando-nos aproximações:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Isso está convergindo muito mais rápido.

Responda:

Você pode encontrar aproximações para raízes quadradas usando uma sequência definida recursivamente.

Explicação:

#cor branca)()#

O método

Dado um inteiro positivo # n # que não é um quadrado perfeito:

• Deixei #p = andar (sqrt (n)) # ser o maior inteiro positivo cujo quadrado não exceda # n #.

• Deixei #q = n-p ^ 2 #

• Defina uma sequência de inteiros por:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "para" i> = 1):} #

Então a razão entre os termos sucessivos da sequência tenderá para # p + sqrt (n) #

#cor branca)()#

Exemplo

Deixei # n = 7 #.

Então #p = floor (sqrt (7)) = 2 #, Desde a #2^2=4 < 7# mas #3^2 = 9 > 7#.

Então # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Então nossa sequência começa:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Em teoria, a relação entre termos consecutivos deve tender para # 2 + sqrt (7) #

Vamos ver:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Observe que # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#cor branca)()#

Como funciona

Suponha que tenhamos uma sequência definida por valores dados de # a_1, a_2 # e uma regra:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

para algumas constantes # p # e # q #.

Considere a equação:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

As raízes dessa equação são:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Então qualquer sequência com termo geral # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # irá satisfazer a regra de recorrência que especificamos.

Próxima solução:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

para #UMA# e # B #.

Nós achamos:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

e, portanto:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Então, com esses valores de # x_1, x_2, A, B # temos:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

E se #q <3p ^ 2 # então #abs (x_2) <1 # e a razão entre os termos sucessivos tenderá para # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Responda:

Divisão modular

Explicação:

A divisão modular é exatamente igual à divisão, exceto que a resposta é o restante, em vez do valor real. Em vez do #-:# símbolo, você usa o #%# símbolo.

Por exemplo, geralmente, se você fosse resolver #16-:5# você pegaria #3# restante #1# ou #3.2#. No entanto, usando divisão modular, #16%5=1#.

Responda:

Avaliando quadrados com somatórios

Explicação:

Normalmente, você deve conhecer quadrados como #5^2=25#. No entanto, quando os números ficam maiores, como #25^2#, fica mais difícil de saber no topo da sua cabeça.

Eu percebi que depois de um tempo, os quadrados são apenas somas de números ímpares.

O que quero dizer é isto:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # Onde #k # é o valor base menos #1#

assim #5^2# poderia ser escrito como:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Isso vai te dar:

#1+3+5+7+9#

Isso, na verdade, é #25#.

Como os números estão sempre incrementando #2#, Eu poderia então adicionar o primeiro e último número e depois multiplicar por # k / 2 #.

Então para #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Então eu posso apenas fazer #(49+1)(25/2)# e pegue #25^2# qual é #625#.

Não é muito prático, mas é interessante saber.

#cor branca)()#

Bônus

Sabendo que:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n terms" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

nos permite resolver alguns problemas sobre diferenças de quadrados.

Por exemplo, quais são todas as soluções em inteiros positivos #m, n # do # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Isso reduz a busca de somas de inteiros ímpares consecutivos que somam #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "média 20" #

#color (branco) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (branco) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (branco) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "média 10" #

#color (branco) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (branco) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (branco) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #