Qual é a segunda derivada da função f (x) = (x) / (x - 1)?

Responda:

# d ^ 2 / (dx ^ 2) x / (x-1) = 2 / (x-1) ^ 3 #

Explicação:

Para este problema, usaremos a regra do quociente:

# d / dx f (x) / g (x) = (g (x) f '(x) -f (x) g' (x)) / g (x) ^ 2 #

Nós também podemos tornar um pouco mais fácil dividindo para obter

# x / (x-1) = 1 + 1 / (x-1) #

Primeira derivada:

# d / dx (1 + 1 / (x-1)) #

# = (d / dx1) + (d / dx ((x-1) (d / dx1) -1 (d / dx (x-1))) / (x-1) ^ 2) #

# = 0 + ((x-1) (0) - (1) (1)) / (x-1) ^ 2 #

# = -1 / (x-1) ^ 2 #

Segunda derivada:

A segunda derivada é a derivada da primeira derivada.

# d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (-1 / (x-1) ^ 2) #

# = - ((x-1) ^ 2 (d / dx1) -1 (d / dx (x-1) ^ 2)) / (x-1) ^ 2 ^ 2 #

# = - ((x-1) ^ 2 (0) -1 (2 (x-1))) / (x-1) ^ 4 #

# = 2 / (x-1) ^ 3 #

Nós também poderíamos ter usado a regra de poder # d / dx x ^ n = nx ^ (n-1) # para #n! = 1 #:

# 1 + 1 / (x-1) = 1+ (x-1) ^ (- 1) #

# => d / dx (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (1+ (x-1) ^ (- 1)) #

# = - (x-2) ^ (- 2) #

# => d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (- (x-2) ^ (- 2)) #

# = 2 (x-2) ^ (- 3) #

que é o mesmo que o resultado obtido acima.