Dois satélites P_ "1" e P_ "2" estão girando em órbitas dos raios R e 4R. A relação de velocidades angulares máxima e mínima da linha que une P_ "1" e P_ "2" é ??

Responda:

#-9/5#

Explicação:

De acordo com a terceira lei de Kepler, # T ^ 2 propto R ^ 3 implica ômega propto R ^ {- 3/2 #, se a velocidade angular do satélite externo é #ómega#, o do interior é #omega times (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Vamos considerar # t = 0 # ser um instante em que os dois satélites são colineares com o planeta mãe, e tomemos esta linha comum como o # X # eixo. Então, as coordenadas dos dois planetas no tempo # t # está # (R cos (8 mega t), R sen (8 mega t)) # e # (4R cos (ômega t), 4R sin (ômega t)) #, respectivamente.

Deixei # theta # ser o ângulo da linha que une os dois satélites faz com o # X # eixo. É fácil ver isso

#tan theta = (4R sin (ômega t) -Rins (8 ômega t)) / (4R cos (ômega t) -Rcos (8 ômega t)) = (4 sin (ômega t) -sin (8 ômega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Rendimento de diferenciação

# seg ^ 2 theta (dteta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 vezes #

#qquad (4 cos (ômega t) -cos (8 ômega t)) (4 ômega cos (ômega t) -8ômega cos (8 ômega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) #

portanto

# (4 cos (ômega t) -cos (8 ômega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (ômega t) -sin (8 ômega t)) / (4 cos (ômega t) -cos (8 ômega) t))) ^ 2 (d teta) / dt #

# = 4 ômega (4 cos ^ 2 (ômega t) -9 cos (ômega t) cos (8 ômega t) + 2 cos ^ 2 (ômega t)) #

#qquad qquad + (4 sen ^ 2 (ômega t) -9 sen (ômega t) cos (8 ômega t) + 2sin ^ 2 (ômega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) implica #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (dteta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) implica #

# (d teta) / dt = 12 ômega (2 - 3 cos (7 ômega t)) / (17 - 8 cos (7 ômega t)) equiv 12 ômega f (cos (7 ômega t)) #

Onde a função

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

tem o derivado

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

e é, portanto, monotonicamente decrescente no intervalo #-1,1#.

Assim, a velocidade angular # (d theta) / dt # é máximo quando #cos (7 omega t) # é mínimo e vice-versa.

Assim, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 vezes (-1)) / (17-8 vezes (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega vezes 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 vezes 1) / (17-8 vezes 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega vezes (-1) / 9 = -4/3 omega #

e assim a razão entre os dois é:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Nota O fato de que # (d theta) / dt # sinal de mudanças é a causa do chamado movimento retrógrado aparente