Qual é a série de Taylor de f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Deixe-nos olhar alguns detalhes.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Lembre-se que a série de energia geométrica

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

substituindo # x # por # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Assim, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Integrando, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

colocando o sinal integral dentro do somatório, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

pela Power Rule, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Desde a #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Direita C = 0 #

Conseqüentemente, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

O termo r _ ("th") de uma série geométrica é (2r + 1) cdot 2 ^ r. A soma do primeiro n termo da série é o que?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = soma_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + soma_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = soma_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1- 2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = soma_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 soma_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 Vamos verificar S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots S

U_1, u_2, u_3, ... estão em Progressão geométrica (GP) .A razão comum dos termos na série é K.Agora determine a soma da série u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) na forma de K e u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) O termo geral de uma progressão geométrica pode ser escrito: a_k = ar ^ (k-1) onde a é o termo inicial e r a razão comum. A soma de n termos é dada pela fórmula: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) cor (branco) () Com a informação dada na questão, a fórmula geral para u_k pode ser escrito: u_k = u_1 K ^ (k-1) Observe que: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Então: sum_ (k = 1) ^ n u_k u (k + 1) = soma_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) cor (branco) (soma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k +1)) =

Como você encontra uma representação de série de potência para (arctan (x)) / (x) e qual é o raio de convergência?

Integrar a série de potência da derivada de arctan (x), em seguida, dividir por x. Sabemos que a representação em série de potência de 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx tal que absx <1. Então 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n). Então a série de poder de arctan (x) é intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1).Você divide por x, você descobre que a série de poder de arctan (x) / x é sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n). Digamos que u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) Para