Como você encontra uma representação de série de potência para (arctan (x)) / (x) e qual é o raio de convergência?

Responda:

Integrar a série de energia da derivada de #arctan (x) # então divida por # x #.

Explicação:

Nós conhecemos a representação da série de potências # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # de tal modo que #absx <1 #. assim # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Então a série de poder de #arctan (x) # é #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Você divide por # x #, você descobre que a série de potências #arctan (x) / x # é #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Digamos #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Para encontrar o raio de convergência desta série de potências, avaliamos #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Então, se queremos que a série de energia converja, precisamos #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, então a série irá convergir se #absx <1 #, o que não é surpreendente, já que é o raio de convergência da representação em série de #arctan (x) #.