O que é uma função de onda e quais são os requisitos para que ela seja bem comportada, isto é, para representar adequadamente a realidade física?

Responda:

A função de onda é uma função valorizada complexa da qual a amplitude (valor absoluto) fornece a distribuição de probabilidade. No entanto, não se comporta da mesma maneira que uma onda comum.

Explicação:

Na mecânica quântica, falamos sobre o estado de um sistema. Um dos exemplos mais simples é uma partícula que pode estar em um giro ascendente ou descendente, por exemplo, um elétron. Quando medimos o giro de um sistema, nós o medimos para aumentar ou diminuir. Um estado pelo qual estamos certos do resultado da medição, chamamos de autoestado (um estado # uarr # e um estado para baixo # darr #).

Também há estados em que não temos certeza do resultado da medição antes de medi-la. Esses estados chamamos de superposição e podemos escrevê-los como # a * uarr + b * darr #. Aqui temos # | a | ^ 2 # a probabilidade de medir # uarr #e # | b | ^ 2 # a probabilidade de medir # darr #. Isso significa, claro, que # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Nós permitimos # a, b # Para ser números complexos, a razão para isto não é imediatamente clara a partir deste exemplo, mas no contexto da função de onda será mais claro. A linha inferior é que há mais estados do que um dando as mesmas probabilidades de medir os spins.

Agora podemos tentar atribuir uma função a esse estado de rotação. Como existem apenas dois resultados da medição do spin, temos uma função que tem apenas duas entradas possíveis. Se nós chamamos a função # psi # (este é um símbolo muito convencional usado para um wavefuntion), definimos #psi (uarr) = a # e #psi (darr) = b #.

Agora nos voltamos para a função de onda. Um aspecto de uma partícula é, claro, sua localização. Assim como no caso do spin, podemos medir valores distintos para o local, e podemos ter estados em que o resultado da medição não é fixo de antemão. Já que temos uma infinidade infinita de locais onde uma partícula pode estar, anotando esse estado como # a * "aqui" + b * "lá" # não vai fazer. No entanto, a ideia da função que usamos acima faz. Então, para qualquer local # x #temos um valor complexo #psi (x) #. A função de densidade de probabilidade da partícula é agora dada por # | psi (x) | ^ 2 #.

Com toda a honestidade, historicamente a idéia da função de onda é mais antiga que a do spin, mas acho que entender a idéia de spin até certo ponto ajuda na compreensão da função de onda.

Agora, antes de tudo, por que o complexo de função de onda é valorizado? A primeira razão pode ser encontrada na ideia de interferência. A função de onda de uma partícula pode interferir com ela mesma. Esta interferência tem a ver com a adição de funções de onda, se as funções de onda dão o mesmo valor absoluto em um certo ponto, então a probabilidade de medir uma partícula em torno desse ponto é similar. No entanto, os valores da função podem ser diferentes, se forem iguais, somando-se a amplitude, ou densidade de probabilidade 4 (#|2|^2#) vezes maior (interferência construtiva), e se diferirem por um sinal, negam-se mutuamente (interferência destrutiva). No entanto, o também pode diferir, por exemplo, por um fator #Eu#, o que significa que a densidade de probabilidade se torna #2# vezes maior nesse ponto. Sabemos que todas essas interferências podem ocorrer. Então, isso aponta para uma função de onda de valor complexo, conforme descrito anteriormente.

A segunda razão pode ser encontrada na equação de Schrödinger. Inicialmente, pensava-se que essas funções de onda se comportavam como ondas clássicas. No entanto, quando Schrödinger tentou descrever o comportamento dessas ondas, ou pelo menos sua evolução ao longo do tempo, descobriu que a equação que rege as ondas clássicas não era adequada. Para que funcione, ele teve que introduzir um número complexo na equação, levando à conclusão de que a própria função tem que ser complexa também, e a ordem das derivadas que aparecem na equação difere da equação de onda clássica.

Essa diferença nas equações também responde à sua segunda pergunta. Como a evolução da função de onda difere muito da das ondas clássicas, não podemos usar os mesmos métodos que usamos na física clássica das ondas. Existem, é claro, argumentos geométricos que você pode usar, mas isso não será suficiente para descrever todos os fenômenos da física quântica. Além disso, mesmo que a função de onda dê muita informação sobre o estado de uma partícula, ela não diz nada sobre o seu spin, uma vez que o spin e a localização dos observáveis têm pouco a ver um com o outro.

Talvez eu esteja interpretando o que você quer dizer com uma natureza geométrica errada. Você poderia, talvez, dar um exemplo do que você quer dizer. Talvez então eu possa ajudá-lo ainda mais.

o função de onda representa o estado de um sistema mecânico quântico, como um átomo ou uma molécula.

Pode ser representado como # psi #, a independente do tempo função de onda, ou # Psi #, a dependente do tempo função de onda.

Porque o onda função evidentemente representa um sistema que se comporta como um onda (não é coincidência que seja chamado de onda função!), normalmente esperaríamos irrestrito função de onda para não ter limites. Considere o fato de que # sinx # e # cosx #, duas funções que são claramente ondas, têm domínios de # (- oo, oo) #.

EXEMPLO: A FUNÇÃO ONDA PARA ORBITALS

No entanto, vamos tomar orbitais por exemplo. Deve haver um conjunto de condições de contorno para um orbital, porque obviamente os orbitais não são infinitamente grandes.

Uma função de onda pode representar combinação linear de orbitais atômicos para formar orbitais moleculares:

#color (azul) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = cor (azul) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +…

Onde # c_i # é o coeficiente de expansão indicando a contribuição de cada orbital atômico para o orbital molecular em questão, e # phi_i ^ "AO" # é o função de onda experimental / julgamento para cada orbital atômico.

Como uma função de onda deve ser capaz de representar um orbital, ela deve ter um raio positivo (#r> 0 #) e a função de onda deve ser solteiro -avaliado fechadas , contínuo , ortogonal para todas as funções de onda relacionadas e normalizável .

Em outras palavras, ele deve passar no teste da linha vertical, ter uma área finita sob a curva, não ter saltos / descontinuidades / assíntotas / quebras e satisfazer as duas equações a seguir:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(a integral de uma função de onda e seu complexo conjugado é #0# se as funções de onda são diferentes)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(a integral de uma função de onda e seu conjugado complexo é normalizado de tal forma que é igual a #1# se as funções de onda são as mesmas além do sinal de # pmi #)

Um exemplo de equação para a função de onda em coordenadas esféricas para o átomo de hidrogênio é:

#color (azul) (psi_ (2pz) (r, teta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (teta, phi) #

# = cor (azul) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Para pensar, eu realmente gastei tempo para normalizar isso. Eu até tomei o tempo para verificar a ortogonalidade com os outros dois # 2p # funções de onda.: P

Apenas no caso, aqui está um apêndice do que eu tenho linkado acima em Scratchpads.

#' '#

Normalização do

o # 2p_z # A função de onda orbital atômica é:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (teta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (teta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

É o # 2p_z # função de onda realmente normalizado? VAMOS DESCOBRIR!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (teta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (verde) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Agora, examinando apenas a parte radial, que é a parte louca … deixe a integração quádrupla por partes começar!

AVALIAÇÃO DO COMPONENTE RADIAL DA FUNÇÃO ONDA

Parte 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Deixei:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Parte 2

Deixei:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Parte 3

Deixei:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Parte 4

Deixei:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

EXPANSÃO / SIMPLIFICAÇÃO

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)}} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)}} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

FORMULÁRIO PRONTO PARA AVALIAÇÃO

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Primeira metade cancela ser estar #0#:

# = cancel ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

A segunda metade simplifica ser estar # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = cancelar (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) cancelar ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + cancelar (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + cancelar (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + cancelar (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Agora, vamos reexaminar a função de onda como um todo …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (cancelar (32) cancelar (pi)) cancelar ((Z / a_0) ^ 5) (cancelar (16) cancelar ((a_0 / Z) ^ 5)) (cancelar (2) cancelar (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (azul) (1 = 1) #

SIM! UM IGUAL UM! Quero dizer…

A função de onda é de fato normalizada!: D

Provando ortogonalidade mútua para as funções de onda 2p

Vamos escolher as seguintes funções de onda:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Para mostrar que eles são ortogonais, precisamos mostrar pelo menos um deles:

#int _ ("todo o espaço") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

E da indução podemos implicar o resto, já que os componentes radiais são idênticos. Em outras palavras:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (teta) sinteta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (verde) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) stackf cosphidphi (?) (=) 0) #

A porção radial acaba por ser # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Então, vamos avaliar as porções angulares.

o # theta # parte:

#color (verde) (int_ (0) ^ (pi) sen ^ 2etetacosthetad theta) #

Deixei:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sen ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sen ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = cor (verde) (0) #

E agora o # phi # parte:

#color (verde) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Deixei:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = cor (verde) (0) #

Portanto, temos em geral:

#color (azul) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = cancelar (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = cor (azul) (0) #

Desde a

#int _ ("todo o espaço") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

a # 2p_z # e # 2p_x # orbitais atômicos são ortogonais.

Realmente, a principal diferença com o uso do # 2p_y # equação é que você, em vez disso, recebe:

#color (verde) ("Constantes" int_ (0) ^ (oo) "Mesma coisa" dr int_ (0) ^ (pi) sen ^ 3thetad teta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

E entao:

#color (azul) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = cor (azul) (0) #

Da multiplicação #0# pelas outras integrais, assim toda a integral desaparece e:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

Então, o # 2p_x # e # 2p_y # orbitais atômicos são ortogonais.

Finalmente, para o # 2p_y # contra o # 2p_z #:

#color (verde) ("Constantes" int_ (0) ^ (oo) "Mesma coisa" dr int_ (0) ^ (pi) sen ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Nós conhecemos o # theta # integral de antes:

#color (azul) (int_ (0) ^ (pi) sen ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sen ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sen ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = cor (azul) (0) #

E assim toda a integral desaparece novamente, e de fato o # 2p_y # e # 2p_z # orbitais são ortogonais também!