A soma do quadrado de dois números consecutivos é 390. Como você formula a equação quadrática para encontrar os dois números?

Responda:

O quadrático seria # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Isso não tem soluções inteiras.

Nem é a soma dos quadrados de quaisquer dois inteiros iguais a #390#.

A soma dos quadrados de dois inteiros gaussianos pode ser 390.

Explicação:

Se o menor dos dois números é # n #, então o maior é # n + 1 # e a soma de seus quadrados é:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Então, a equação quadrática que procuramos resolver é:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

ou se preferir:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Observe, entretanto, que para qualquer número inteiro # n # a soma # 2n ^ 2 + 2n + 1 # será estranho, por isso não é possível #390# ser a soma dos quadrados de dois inteiros consecutivos.

Pode ser expresso como a soma dos quadrados de dois inteiros?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# não quadrado

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# não quadrado

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# não quadrado

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# não quadrado

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# não quadrado

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# não quadrado

Não - se formos mais longe, o grande resto depois de subtrair o quadrado não será um dos que já verificamos.

#cor branca)()#

Nota de rodapé complexa

Existe um par de inteiros gaussianos cuja soma de quadrado é #390#?

Sim.

Suponha que possamos encontrar um inteiro gaussiano # m + ni #, a parte real de cuja praça é #195#. Então a soma do quadrado desse inteiro gaussiano e o quadrado de seu conjugado complexo seria uma solução.

Nós achamos:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Então, nós queremos encontrar inteiros #m, n # de tal modo que # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Bem:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Daí encontramos:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Outra solução, vinda do fato de que todo número ímpar é a diferença de quadrados de dois números consecutivos é:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #