Quais são os testes de divisibilidade de vários números?

Existem muitos testes de divisibilidade. Aqui estão alguns, junto com como eles podem ser derivados.

• Um inteiro é divisível por #2# se o dígito final for par.

• Um inteiro é divisível por #3# se a soma de seus dígitos é divisível por 3.

• Um inteiro é divisível por #4# se o inteiro formado pelos dois últimos dígitos for divisível por 4.

• Um inteiro é divisível por #5# se o dígito final for 5 ou 0.

• Um inteiro é divisível por #6# se é divisível por 2 e por 3.

• Um inteiro é divisível por #7# se subtrair duas vezes o último dígito do número inteiro formado pela remoção do último dígito é um múltiplo de 7.

• Um inteiro é divisível por #8# se o inteiro formado pelos três últimos dígitos for divisível por 8 (isso pode ser facilitado observando que a regra é a mesma que para 4s se o dígito das centenas for par, e o oposto de outro modo)

• Um inteiro é divisível por #9# se a soma dos dígitos for divisível por 9.

• Um inteiro é divisível por #10# se o último dígito for #0#

Para estes e mais, dê uma olhada na página da Wikipédia para regras de divisibilidade.

Agora, pode-se pensar em como chegar a essas regras, ou pelo menos mostrar que elas realmente funcionarão. Uma maneira de fazer isso é com um tipo de matemática chamada aritmética modular.

Na aritmética modular, escolhemos um inteiro # n # Enquanto o módulo e depois tratar todos os outros inteiros como sendo módulo congruente # n # ao seu restante quando dividido por # n #. Uma maneira fácil de pensar sobre isso é que você pode adicionar ou subtrair # n # sem alterar o valor de um inteiro módulo n. Isto é o mesmo que, em um relógio analógico, adicionar doze horas de resultados ao mesmo tempo. Adicionando horas em um relógio é adição modulo #12#.

O que torna a aritmética modular muito útil na determinação das regras de divisibilidade é que qualquer inteiro #uma# e inteiro positivo # b #, Nós podemos dizer que #uma# é divisível por # b # se e apenas se

# a- = 0 "(mod b)" # (#uma# é congruente para #0# módulo # b #).

Vamos usar isso para ver porque a regra de divisibilidade para #3# trabalho. Faremos isso usando um exemplo que mostre o conceito geral. Neste exemplo, vamos ver porque #53412# é divisível por #3#. Lembre-se que adicionar ou subtrair #3# não vai mudar o valor de um módulo inteiro #3#.

#53412# é divisível por #3# se e apenas se # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Mas também porque #10 -3 -3 -3 = 1#, temos # 10 - = 1 "(mod 3)" #

Portanto:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (vermelho) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

portanto #53412# é divisível por #3#. O passo em vermelho demonstra porque podemos simplesmente somar os dígitos e verificar que, em vez de tentar dividir o número original #3#.