Qual é o domínio e alcance de y = (4x ^ 2 - 9) / ((2x + 3) (x + 1))?

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Aviso prévio:

# 4x ^ 2-9 # é a diferença de dois quadrados. Isso pode ser expresso como:

# 4x ^ 2-9 = (2x + 3) (2x-3) #

Substituindo isso no numerador:

# ((2x + 3) (2x-3)) / ((2x + 3) (x + 1)) #

Cancelando fatores semelhantes:

# (cancelar ((2x + 3)) (2x-3)) / (cancelar ((2x + 3)) (x + 1)) = (2x-3) / (x + 1) #

Percebemos que para # x = -1 # o denominador é zero. Isso é indefinido, então nosso domínio será todo real # bbx # #x! = - 1 #

Podemos expressar isso em notação de conjunto como:

# x! = -1 #

ou em notação de intervalo:

# (- oo, -1) uu (-1, oo) #

Para encontrar o intervalo:

Sabemos que a função é indefinida para # x = -1 #, portanto, a linha # x = -1 # é uma assíntota vertical. A função irá para # + - oo # nessa linha.

Agora vemos o que acontece como #x -> + - oo #

Dividir # (2x-3) / (x + 1) # por # x #

# ((2x) / x-3 / x) / (x / x + 1 / x) = (2-3 / x) / (1 + 1 / x) #

Como: #x -> + - oo # # (2-3 / x) / (1 + 1 / x) = (2-0) / (1 + 0) = 2 #

Isso mostra a linha # y = 2 # é uma assíntota horizontal. A função não pode, portanto, ser igual a 2.

então o intervalo pode ser expresso como:

#y em RR #

ou

# (- oo, 2) uu (2, oo) #

Isso pode ser visto no gráfico da função:

gráfico {(2x-3) / (x + 1) -32,48, 32,44, -16,23, 16,25}