Mostre que a equação x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 tem exatamente uma solução em [0, 1]?

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Primeiro de tudo, vamos calcular #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # no limite do nosso domínio:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Se calcularmos o derivado

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Podemos ver que é sempre positivo #0,1#. De fato, # x ^ 2 + 1 # é sempre positivo e # 4x # é obviamente positivo, já que # x # é positivo.

Então, nossa função começa abaixo do # x # eixo, desde #f (0) <0 #e termina acima do # x # eixo, desde #f (1)> 0 #. A função é um polinômio e, portanto, é contínua.

Se uma linha contínua começa abaixo do eixo e termina acima, isso significa que deve ter cruzado em algum lugar entre os dois. E o fato de a derivada ser sempre positiva significa que a função está sempre crescendo e, portanto, não pode cruzar o eixo duas vezes, daí a prova.