Qual é o vetor unitário que é normal ao plano contendo (i + k) e (i - 2 j + 3 k)?

Responda:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #

Explicação:

Um vetor que é normal (ortogonal, perpendicular) a um plano contendo dois vetores também é normal para ambos os vetores. Podemos encontrar o vetor normal tomando o produto cruzado dos dois vetores dados. Podemos, então, encontrar um vetor unitário na mesma direção daquele vetor.

Primeiro, escreva cada vetor em forma vetorial:

# veca = <1,0,1> #

# vecb = <1, -2,3> #

O produto cruzado, # vecaxxvecb # é encontrado por:

# vecaxxvecb = abs ((veci, vecj, veck), (1,0,1), (1, -2,3)) #

Para o Eu componente, temos:

#(0*3)-(-2*1)=0-(-2)=2#

Para o j componente, temos:

#-(1*3)-(1*1)=-3-1=-2#

Para o k componente, temos:

#(1*-2)-(0*1)=-2-0=-2#

Assim sendo, # vecn = <2, -2, -2> #

Agora, para fazer disso um vetor unitário, dividimos o vetor por sua magnitude. A magnitude é dada por:

# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt ((2) ^ 2 + (- 2) ^ 2 + (- 2) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt (4 + 4 + 4) = sqrt (12) = 2sqrt3 #

O vetor unitário é então dado por:

# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #

#vecu = (<2, -2, -2>) / (2sqrt (3)) #

# vecu = <2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3))> #

# vecu = <1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3)> #

Ao racionalizar o denominador, obtemos:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #