Como você prova (1-sin x) / (1 + sin x) = (seg x + tan x) ^ 2?

Responda:

Use algumas identidades trigonométricas e simplifique. Ver abaixo.

Explicação:

Eu acredito que há um erro na pergunta, mas não é grande coisa. Para que isso faça sentido, a pergunta deve ser:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

De qualquer forma, começamos com esta expressão:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Ao provar identidades trigonométricas, geralmente é melhor trabalhar no lado que tem uma fração).

Vamos usar um truque puro chamado multiplicação conjugada, onde multiplicamos a fração pelo nome do denominador. conjugado:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

O conjugado de # a + b # é # a-b #, então o conjugado de # 1 + sinx # é # 1-sinx #; nós multiplicamos por # (1-sinx) / (1-sinx) # para equilibrar a fração.

Observe que # (1 + sinx) (1-sinx) # é na verdade uma diferença de quadrados, que tem a propriedade:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Aqui vemos que # a = 1 # e # b = sinx #, assim:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Da Identidade Pitagórica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, segue-se que (depois de subtrair # sin ^ 2x # de ambos os lados), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Nossa, nós fomos de # (1-sinx) / (1-sinx) # para # 1-sin ^ 2x # para # cos ^ 2x #! Agora nosso problema parece:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Vamos expandir o numerador:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Lembrar: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Agora vamos quebrar as frações:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = seg ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Como simplificar naquela ? Bem, lembre-se quando eu disse "Lembre-se: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Acontece que # seg ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # é na verdade # (secx-tanx) ^ 2 #. Se nós deixarmos # a = secx # e # b = tanx #, podemos ver que essa expressão é:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Que, como acabei de dizer, equivale a # (a-b) ^ 2 #. Substituir #uma# com # secx # e # b # com # tanx # e você recebe:

# seg ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

E nós completamos o varrasco:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #