Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x)? Mais perguntas

Responda:

Ver abaixo:

Explicação:

aviso Legal - Estou supondo que # phi_0 #, # phi_1 # e # phi_2 # denota o solo, primeiro excitado e segundo estado excitado do poço infinito, respectivamente - os estados convencionalmente denotados por # n = 1 #, # n = 2 #e # n = 3 #. Assim, # E_1 = 4E_0 # e # E_2 = 9E_0 #.

d) Os possíveis resultados das medições de energia são # E_0 #, # E_1 # e # E_2 # - com probabilidades #1/6#, #1/3# e #1/2# respectivamente.

Essas probabilidades são independentes do tempo (à medida que o tempo evolui, cada peça pega um fator de fase - a probabilidade, que é dada pelo módulo quadrado dos coeficientes) não muda como resultado.

(c) O valor esperado é # 6E_0 #. A probabilidade de uma medição de energia gerando isso como resultado é 0. Isso é verdade para todos os tempos.

De fato, # 6E_0 # não é um autovalor de energia - de modo que uma medição de energia nunca dará esse valor - não importa qual seja o estado.

(e) Imediatamente após a medição que produz # E_2 #, o estado do sistema é descrito pela função de onda

#psi_A (x, t_1) = phi_2 #

No #t_> t_1, a função de onda é

# psi_A (x, t) = phi_2 e ^ {- iE_2 / ℏ (t-t_1)} #

O único valor possível que uma medição de energia produzirá nesse estado é # E_2 # - em todos os momentos # t_2> t_1 #.

(f) As probabilidades dependem do módulo quadrado dos coeficientes - assim

#psi_B (x, 0) = sqrt {1/6} phi_0-sqrt {1/3} phi_1 + isqrt {1/2} phi_2 #

irá funcionar (existem infinitas soluções possíveis). Observe que, como as probabilidades não foram alteradas, o valor esperado da energia será automaticamente o mesmo #psi_A (x, 0) #

(g) Desde # E_3 = 16 E_0 #, podemos obter um valor esperado de # 6E_0 # se tiver-mos # E_1 # e # E_3 # com probabilidades # p # e # 1-p # E se

# 6E_0 = pE_1 + (1-p) E_3 = 4pE_0 + 16 (1-p) E_0 implica #

# 16-12p = 6 implica p = 5/6 #

Então, uma possível função de onda (novamente, uma das infinitas possibilidades) é

#psi_C (x, 0) = sqrt {5/6} phi_1 + sqrt {1/6} phi_3 #