Quais são as possíveis raízes racionais x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Responda:

Este quintico não tem raízes racionais.

Explicação:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Pelo teorema da raiz racional, quaisquer zeros de #f (x) # são expressáveis na forma # p / q # para inteiros #p, q # com # p # um divisor do termo constante #-12# e # q # um divisor do coeficiente #1# do termo principal.

Isso significa que o único possível racional zeros são:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Observe que #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # tem todos os coeficientes negativos. Conseqüentemente #f (x) # não tem zeros negativos.

Então o único possível racional zeros são:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Avaliando #f (x) # para cada um desses valores, achamos que nenhum é um zero. assim #f (x) # não tem racional zeros.

Em comum com a maioria dos quínticos e polinômios de maior grau, os zeros não são expressos em termos de # n #raízes ou funções elementares, incluindo funções trigonométricas.

Você pode usar métodos numéricos como o Durand-Kerner para encontrar aproximações:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0,640414 + -0,877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0,716229 + -0,587964i #