Como você determina se a integral imprópria converge ou diverge int 1 / [sqrt x] de 0 a infinito?

Responda:

A integral diverge.

Explicação:

Poderíamos usar o teste de comparação para integrais impróprias, mas neste caso a integral é tão simples de avaliar que podemos apenas calculá-la e ver se o valor é limitado.

# int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = 2sqrtx _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) = oo #

Isso significa que a integral diverge.

Suponha que você esteja iniciando um serviço de limpeza de escritório. Você gastou $ 315 em equipamentos. Para limpar um escritório, você usa US $ 4 em suprimentos. Você cobra US $ 25 por escritório. Quantos escritórios você deve limpar para empatar?

Número de escritórios a serem limpos para cobrir o custo do equipamento = 15 Custo do equipamento = $ 315 Custo dos suprimentos = $ 4 Custo por escritório = $ 25 Número de escritórios a serem limpos para cobrir o custo do equipamento = x Então - 25x-4x = 315 21x = 315 x = 315/21 = 15 Número de escritórios a serem limpos para cobrir o custo do equipamento = 15

Usando a definição de convergência, como você prova que a sequência {5+ (1 / n)} converge de n = 1 para infinito?

Seja: a_n = 5 + 1 / n então para qualquer m, n em NN com n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m-5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) como n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n e como 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dado qualquer número real epsilon> 0, escolha um inteiro N> 1 / epsilon. Para quaisquer inteiros m, n> N temos: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon que comprova a condição de Cauchy para a convergência de uma sequência.

Usando a definição de convergência, como você prova que a sequência {2 ^ -n} converge de n = 1 para infinito?

Use as propriedades da função exponencial para determinar N como | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon para cada m, n> N A definição de convergência declara que {a_n} converge se: AA épsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | Então, dado epsilon> 0 tomar N> log_2 (1 / epsilon) e m, n> N com m <n Como m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 so | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Agora como 2 ^ x é sempre positivo, (1- 2 ^ (mn)) <1, então 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) E