Qual é o valor de? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sen t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Responda:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sen t ^ 2 dt) / (sen x ^ 2) = 0 #

Explicação:

Nós buscamos:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sen t ^ 2 dt) / (sen x ^ 2) #

Tanto o numerador quanto o denominador2 #rarr 0 # Como #x rarr 0 #. assim o limite #EU# (se existir) é de forma indeterminada #0/0#e, consequentemente, podemos aplicar a regra do L'Hôpital para obter:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sen (t ^ 2) dt) / (d / dx sen (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sen (t ^ 2) dt) / (d / dx sen (x ^ 2)) #

Agora, usando o teorema fundamental do cálculo:

# d / dx int_0 ^ x sen (t ^ 2) dt = sen (x ^ 2) #

E,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

E entao:

# L = lim_ (x rarr 0) sen (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Mais uma vez, esta é de uma forma indeterminada #0/0#e, consequentemente, podemos aplicar a regra do L'Hôpital novamente para obter:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sen (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Qual, podemos avaliar:

# L = (0) / (2-0) = 0 #