Pergunta # ba262

Responda:

A prova é um pouco longa, mas administrável. Ver abaixo.

Explicação:

Ao tentar provar identidades trigonométricas envolvendo frações, é sempre uma boa ideia adicionar as frações primeiro:

# sint / (1-cost) + (1 + cost) / sint = (2 (1 + custo)) / sint #

# -> sint / (1-cost) sint / sint + (1 + custo) / sint (1-cost) / (1-cost) = (2 (1 + custo)) / sint #

# -> sen ^ 2t / ((1-cost) (sint)) + ((1 + custo) (1-cost)) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + custo)) / sint #

# -> (sen ^ 2t + (1 + custo) (1-custo)) / ((1-custo) (sint)) = (2 (1 + custo)) / sint #

A expressão # (1 + custo) (1 custo) # é na verdade uma diferença de quadrados disfarçados:

# (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Com # a = 1 # e # b = cost #. Ele avalia para # (1) ^ 2- (custo) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Podemos ir ainda mais longe com # 1-cos ^ 2t #. Lembre-se da identidade pitagórica básica:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Subtraindo # cos ^ 2x # de ambos os lados, vemos:

# sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Desde a # x # é apenas uma variável de espaço reservado, podemos dizer que # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. Portanto, o # (1 + custo) (1 custo) # torna-se # sin ^ 2t #:

# (sen ^ 2t + sen ^ 2t) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + custo)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((custo 1) (sint)) = (2 (1 + custo)) / sint #

Note que os senos cancelam:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((custo 1) cancelar ((sint))) = (2 (1 + custo)) / sint #

# -> (2sint) / (1-cost) = (2 (1 + custo)) / sint #

Estamos quase terminando O último passo é multiplicar o lado esquerdo pelo conjugado de # 1-cost # (qual é # 1 + custo #), para aproveitar a diferença da propriedade dos quadrados:

# (2sint) / (1-cost) (1 + custo) / (1 + cost) = (2 (1 + custo)) / sint #

# -> (2sint (1 + custo)) / ((1-cost) (1 + cost)) = (2 (1 + cost)) / sint #

Mais uma vez, podemos ver que # (1 custo) (1 + custo) # é uma diferença de quadrados, com # a = 1 # e # b = cost #. Ele avalia para # (1) ^ 2- (custo) ^ 2 #ou # 1-cos ^ 2t #. Nós já mostramos que # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, então o denominador é substituído:

# (2sint (1 + custo)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + custo)) / sint #

Sinos cancelados:

# (2cancel (sint) (1 + custo)) / (cancelar (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + custo)) / sint #

E voila, prova completa:

# (2 (1 + custo)) / sint = (2 (1 + custo)) / sint #

Responda:

Deixe-me tentar

Explicação:

# LHS = sint / (custo 1) + (1 + custo) / sint #

Inspecionando o RHS tomamos comum# (1 + custo) / sint #

assim

# LHS = (1 + custo) / sint (sint / (1 + custo) * sint / (1-cost) +1) #

# = (1 + custo) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + custo) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + custo) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + custo)) / sint = RHS #

Provado