Como você simplifica (seg ^ 4x-1) / (seg ^ 4x + sec ^ 2x)?

Responda:

Aplique uma identidade pitagórica e algumas técnicas de factoring para simplificar a expressão # sin ^ 2x #.

Explicação:

Lembre-se da importante identidade pitagórica # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #. Nós estaremos precisando disto para este problema.

Vamos começar com o numerador:

# seg ^ 4x-1 #

Note que isso pode ser reescrito como:

# (sec ^ 2x) ^ 2- (1) ^ 2 #

Isso se encaixa na forma de uma diferença de quadrados, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #com # a = sec ^ 2x # e # b = 1 #. Fatores em:

# (seg ^ 2x-1) (seg ^ 2x + 1) #

Da identidade # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #, podemos ver que subtraindo #1# de ambos os lados nos dá # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Podemos, portanto, substituir # seg ^ 2x-1 # com # tan ^ 2x #:

# (seg ^ 2x-1) (seg ^ 2x + 1) #

# -> (tan ^ 2x) (seg ^ 2x + 1) #

Vamos verificar o denominador:

# seg ^ 4x + seg ^ 2x #

Podemos fatorar um # seg ^ 2x #:

# seg ^ 4x + seg ^ 2x #

# -> seg ^ 2x (seg ^ 2x + 1) #

Não há muito mais que possamos fazer aqui, então vamos ver o que temos agora:

# ((tan ^ 2x) (seg ^ 2x + 1)) / ((seg ^ 2x) (seg ^ 2x + 1)) #

Nós podemos fazer algum cancelamento:

# ((tan ^ 2x) cancela ((seg ^ 2x + 1))) / ((seg ^ 2x) cancela ((seg ^ 2x + 1)) #

# -> tan ^ 2x / seg ^ 2x #

Agora vamos reescrever isso usando apenas senos e cossenos e simplificar:

# tan ^ 2x / sec ^ 2x #

# -> (sen ^ 2x / cos ^ 2x) / (1 / cos ^ 2x) #

# -> sin ^ 2x / cos ^ 2x * cos ^ 2x #

# -> sin ^ 2x / cancela (cos ^ 2x) * cancela (cos ^ 2x) = sin ^ 2x #