Encontre os valores de x para os quais a série seguinte é convergente?

Responda:

#1<>

Explicação:

Ao tentar determinar o raio e / ou intervalo de convergência de séries de potência como estas, é melhor usar o Teste de Razão, que nos diz para uma série # suma_n #, Nós deixamos

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

E se #L <1 # a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente)

E se #L> 1 #, a série diverge.

E se # L = 1, # o Teste de Razão é inconclusivo.

Para a Power Series, no entanto, três casos são possíveis

uma. A série de energia converge para todos os números reais; seu intervalo de convergência é # (- oo, oo) #

b. A série de energia converge para algum número # x = a; # seu raio de convergência é zero.

c. O caso mais frequente, a série de energia converge para # | x-a |<> com um intervalo de convergência de # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Então se # | 2x-3 | <1 #, a série converge. Mas precisamos disso na forma # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # resulta em convergência. O raio de convergência é # R = 1 / 2. #

Agora, vamos determinar o intervalo:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Nós precisamos ligar # x = 1, x = 2 # na série original para ver se temos convergência ou divergência nesses pontos finais.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # diverge, o summand não tem limite e certamente não vai a zero, apenas alterna sinais.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # diverge também pelo Divergence Test, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Portanto, a série converge para #1<>

Podemos usar o teste da razão, que diz que se tivermos uma série

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

Definitivamente é convergente se:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

No nosso caso, # a_n = (2x-3) ^ n #, então nós verificamos o limite:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) cancelar ((2x-3)) ^ n)) / cancelar ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Então, precisamos verificar quando # | 2x-3 | # é menos do que #1#:

Eu cometi um erro aqui, mas a resposta acima tem o mesmo método e uma resposta correta, então dê uma olhada nisso.