Responda:
Converge absolutamente.
Explicação:
Use o teste para convergência absoluta. Se tomarmos o valor absoluto dos termos, obtemos a série
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Esta é uma série geométrica de proporção comum #1/4#. Assim converge. Já que ambos # | a_n | # converge #a# converge absolutamente.
Espero que isso ajude!
Responda:
# "É uma série geométrica simples e converge absolutamente com" # # "sum" = 16/5 = 3.2. "#
Explicação:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", desde que | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Take" a = -1/4 ", então temos" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Agora nossa série é quatro vezes mais que o primeiro termo é 4." #
# "Então nossa série" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Responda:
A série geométrica converge absolutamente, com
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Explicação:
Esta série é definitivamente uma série alternada; no entanto, também parece geométrico.
Se pudermos determinar a proporção comum compartilhada por todos os termos, a série estará na forma
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Onde #uma# é o primeiro termo e # r # é a proporção comum.
Precisamos encontrar o resumo usando o formato acima.
Divida cada termo pelo termo antes dele para determinar a razão comum # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Assim, esta série é geométrica, com a razão comum # r = -1 / 4 #e o primeiro termo # a = 4. #
Nós podemos escrever a série como
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Lembre-se que uma série geométrica #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # converge para # a / (1-r) # E se # | r | <1 #. Então, se converge, também podemos encontrar seu valor exato.
Aqui, # | r | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, então a série converge:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Agora, vamos determinar se converge absolutamente.
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
Exclua o termo negativo alternativo:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Tome o valor absoluto, fazendo com que o termo negativo alternativo desapareça:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
Portanto, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Nós vemos # | r | = 1/4 <1 #, então ainda temos convergência:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
A série converge absolutamente, com
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
